有限域的伽罗瓦群

有限域是最有条理的域，它们的伽罗瓦理论也反映了这一点：一个有限域在另一个有限域上的每个扩张都是循环的，而且有唯一一个典范的对称变换——取 p 次幂——其各次幂产生其余所有对称变换。只要知道这一个映射，即弗罗贝尼乌斯，就知道了整个对称结构。

精确地说，设 F_q 是含 q = p^m 个元素的有限域（p 为素数），考虑扩张 F_{q^n}/F_q。它是 n 次伽罗瓦扩张，其伽罗瓦群是 n 阶循环群，由相对弗罗贝尼乌斯自同构 phi(x) = x^q 生成。幂 phi、phi^2、...、phi^n = id 恰好是这 n 个不同的自同构，而对 n 的每个因子 d，phi^d 的不动域是 F_{q^d}。

这给出了一个完全透明的伽罗瓦对应：包含 F_q 的 F_{q^n} 的子域对应于 n 的因子，与循环群 Z/nZ 的子群格相匹配。就绝对版本而言，F_p 的代数闭包在 F_p 上的伽罗瓦群是整数的射有限完备化，即诸循环群 Z/nZ 的逆极限，由弗罗贝尼乌斯拓扑生成。