交换代数
完备化
完备化是「无限放大并允许无穷泰勒展开」的代数版本。局部化已经让你聚焦于某点附近；完备化再走最后一步，用完整的幂级数行为取代多项式行为，使每个类柯西的逼近序列都真正收敛到环中的某物。它就是从多项式 k[x] 到形式幂级数 k〚x〛，或从整数 Z 到 p-进整数 Z_p 的那一步。
给定环 R 与理想 I，I-进完备化是商系统 R -> ... -> R/I^3 -> R/I^2 -> R/I 的逆极限。一个元素就是模 I 各次幂的一族相容剩余——一个「关于 I 的幂级数」。自然映射 R -> R-hat 是单射当且仅当所有 I^n 之交为零（克鲁尔交定理）；对以 I = m 为极大理想的诺特局部环，完备化给出 m-进完备化 R-hat，它仍是局部环，极大理想由 m 的像生成。
完备化是平坦、正合且保持结构的运算，它保持维数与正则性（R 正则当且仅当 R-hat 正则）。它的威力在于完备局部环远为刚硬：科恩结构定理说一个含域的完备正则局部环恰是幂级数环 k〚x_1, ..., x_d〛。代价是完备化完全忘掉了整体的、远处的信息——它只看见无穷小邻域，故两个差异极大的簇在对应光滑点处可以有同构的完备化。
Z 的 (p)-进完备化是 Z_p = Z/p^n Z 的逆极限；一个元素是相容序列 (a_1 mod p, a_2 mod p^2, ...)。同样地，k[x] 的 (x)-进完备化是幂级数环 k〚x〛。
Z 完备化为 p-进整数；k[x] 完备化为幂级数。
亨泽尔引理在完备局部环中成立：多项式的一个近似根可被精炼成精确根，很像牛顿法。这正是完备化在数论中以及在把解模 p^n 提升时占核心地位的原因。
又称
另见