极限

极限是单个对象，它把整张由对象与箭头组成的图最优地概括起来，正如积概括一对对象。给定一组对象及其间规定的关系，极限是相容地映向它们全体、并尊重图中每个箭头的泛对象。它是积、交、核、拉回与投射极限的范畴论归宿，这些都是某特定形状上的极限。

确切地说，固定一个小范畴 J（形状）与一个函子 D : J -> C（图）。从对象 X 出发对 D 的一个锥是一族态射 X -> D(j)，每个 J 的对象 j 各一个，且与 D 所送的所有箭头交换。D 的极限是一个泛锥：一个对象 lim D 带有一个锥，使得每个别的锥都经由唯一态射分解通过它。泛性质再次迫使其在唯一同构意义下唯一。

极限对形状敏感：积是离散图上的极限，等化子是两条平行箭头上的极限，拉回是一个角上的极限，投射极限是一条下降链上的极限。一切小极限都存在的范畴称为完备的；Set、Grp、Ring 与 Top 都是完备的。一个关键事实是右伴随函子保持一切极限，这是常用的计算捷径。