正则局部环

正则局部环是光滑点的代数——簇上没有尖角、尖点、交叉或夹缩的地方。在光滑点处，空间在无穷小尺度上看起来就像平直的坐标空间，而这种光滑性的代数影子是一种精确的效率：极大理想所需的生成元不超过维数所允许的数目。奇异点「浪费」生成元；正则点恰好用最少的数目。

设 (R, m, k) 是诺特局部环，极大理想为 m，剩余域为 k = R/m。由中山引理总有 dim R <= dim_k(m / m^2)，即 m 所需的生成元个数。当等号成立时 R 称为正则的：dim R = dim_k(m / m^2)，于是 m 恰由 d = dim R 个元素生成，称为一组正则参数系。等价地，其相伴分次环是 k 上的多项式环。

正则局部环出奇地好：由奥斯兰德－布赫斯鲍姆－塞尔定理，它们恰是有限整体维数的诺特局部环；一条深刻的定理（奥斯兰德－布赫斯鲍姆）说每个正则局部环都是唯一分解整环。它们整闭且为科恩－麦考莱环。最简单的例子是域（d = 0）、DVR（d = 1）和幂级数环 k〚x_1, ..., x_d〛。节点 k[x, y]/(y^2 - x^3) 在原点处局部化是非正则局部环的原型：维数为 1 而 m 需要 2 个生成元。