克鲁尔维数

一个几何对象有多少个独立方向——它是点、曲线、曲面，还是立体？克鲁尔维数纯代数地回答这一问题，不借助任何图像，只数素理想能嵌套到多深。点的环没有嵌套余地；曲线的环允许把一个素理想套进另一个；曲面的环则允许套两层。你能搭起的素理想塔越长，就度量出空间的维数。

交换环 R 的克鲁尔维数是相异素理想链 p_0 ⊊ p_1 ⊊ ... ⊊ p_n 之长度 n 的上确界。（含 n+1 个素理想的链长度为 n。）域的维数是 0；整数环 Z 以及任何不是域的主理想整环维数为 1（链 (0) ⊊ (p)）；而域上的多项式环 k[x_1, ..., x_n] 维数为 n。

对域上有限生成的代数，借助诺特正规化，这种组合计数与每一种几何维数概念一致，也与函数域的超越次数一致。但在完全的一般性下，克鲁尔维数可能失常：存在维数无穷的诺特环（永田的例子），所以维数有限是一条真正的定理（对域上或 Z 上有限生成的代数成立），而非自动的事实。