交换代数
诺特正规化
域上任何有限生成的代数，无论其定义关系多么纠缠，都可以呈现为坐落在干净的坐标轴之上的、适度的「增厚」。诺特正规化把这一点精确化：它在你的代数内部找到一个多项式环——一块纯粹的、无关系的坐标空间——使整个代数在它之上只是一个有限扩张。从几何上看，每个仿射簇都有限且满地投影到一个同维数的仿射空间上。
引理断言：若 A 是域 k 上有限生成的代数，则存在 A 中在 k 上代数无关的元素 y_1, ..., y_d，使 A 是多项式子环 k[y_1, ..., y_d] 上的有限生成模。等价地，A 在这个多项式环上整。数 d 是被迫定的——它等于 A 的克鲁尔维数，也等于其分式域在 k 上的超越次数。
证明在特征零或无限域上使用一次一般线性坐标变换，把一个生成元变得在其余生成元上整，然后归纳；在有限域上则改用非线性代换。这条引理是零点定理简洁证明背后的引擎，是簇的维数理论背后的引擎，也是代数几何中有限性陈述背后的引擎。
对 A = k[x, y]/(xy - 1)，取 t = x + y，则 A 在 k[t] 上整，把双曲线 xy = 1 实现为 1 维 t-直线的一个有限覆盖。
一条曲线呈现为在一维坐标直线上的有限扩张。
结合上行定理，正规化直接表明 dim A = d，因为 A 在维数为 d 的 k[y_1, ..., y_d] 上整。它是「维数 = 自由参数的个数」这一陈述的代数主干。
又称
另见