整扩张

整扩张是「代数但不许有分数」的环论版本。正如代数数满足一个有理数系数的多项式，整元素满足一个基环上的多项式——但附加要求首项系数为 1。这个首一要求正是防止你偷偷塞进分母的关键，所以整性是「代数整数」而非仅仅「代数数」这一概念的诚实类比。

设 R 是交换环 S 的子环。S 中的元素 s 称为在 R 上整，若它满足一个首一多项式 s^n + c_{n-1} s^{n-1} + ... + c_0 = 0，其中所有 c_i 都在 R 中。当 S 的每个元素都在 R 上整时，扩张 R ⊆ S 称为整扩张。等价刻画：s 在 R 上整，当且仅当 R[s] 是有限生成的 R-模，当且仅当 R[s] 含于某个本身是有限生成 R-模的 R-子代数中。

整性表现得像一种有限性条件：S 中在 R 上整的全体元素构成一个子环，即 R 在 S 中的整闭包。有限扩张（S 作为 R-模有限生成）必是整扩张，但逆命题不成立——Q 的代数闭包在 Q 上整却是无穷维的。诚实的告诫：1/2 在 Z 上代数（满足 2x - 1 = 0）但在 Z 上不整，因为没有以 1/2 为根的首一整系数多项式；这正是首一条件的全部意义所在。