上行定理

想象一个环的素理想堆叠成一座座塔，每座塔是一条嵌套素理想的链——这是度量环维数的骨架。上行定理说：当你通过整扩张把一个环架在基环之上时，总能把楼下的塔抬到楼上：楼下任何一条素理想链都能被楼上一条压在其上的链所匹配，逐级攀升。整扩张绝不损失垂直的空间。

设 R ⊆ S 是交换环的整扩张。上行定理断言：给定 R 中一条素理想链 p_1 ⊆ p_2 ⊆ ... ⊆ p_n，以及 S 中压在 p_1 之上的素理想 q_1（即 q_1 ∩ R = p_1），则存在 S 中的链 q_1 ⊆ q_2 ⊆ ... ⊆ q_n，使每个 q_i 压在 p_i 之上。配套的位于其上定理保证起点 q_1 确实存在，而不可比性说 S 中压在 R 同一素理想之上的两个不同素理想互不包含。

一个核心推论：整扩张保持克鲁尔维数，dim S = dim R。上行有一对表亲；下行定理沿相反方向提升链，但需要额外假设（例如 R 整闭且 S 为整环），缺了它确实可能失败。经典应用见于代数数论，以及证明诺特正规化给出正确的维数计数。