代数整数

在所有代数数中，有些理应被称作“整数”，正如 5 是整数而 5/2 不是。诚实的判别准则是：要求最干净的多项式方程本身已有整系数且首项系数为 1，不被迫引入任何分母。这类数在有理数中的表现就像普通整数：它们对加法与乘法封闭，构成一个环。

形式地说，一个复数 a 称为代数整数，如果它是某个整系数首一多项式的根——即 x^n + c_{n-1} x^{n-1} + ... + c_0，其中每个 c_i 属于 Z。等价地，a 为代数整数当且仅当它在有理数上的极小多项式具有整系数。一个有理数是代数整数当且仅当它是普通整数（这正是有理根定理的化身）。

全体代数整数构成一个环；与任一数域 K 相交便得到 K 的整数环，这是本学科的核心对象。代数整数恰好就是在 Z 上整的代数数，因此它们是整扩张这一概念在数论中的具体实例。