代数几何基础
切空间
在光滑曲线的一点你能画出切线,在光滑曲面的一点能画出切平面。切空间是簇在一点处最佳的线性逼近——在那里最贴合它的平直空间。代数几何须不用微积分而仅凭环结构来构造它,以便在任意域上奏效。
代数定义使用该点的局部环 O_p 及其极大理想 m。余切空间是 k-向量空间 m/m^2,而扎里斯基切空间是其对偶,即 k-线性映射 m/m^2 到 k 之空间,其中 k 是剩余域。等价地,切向量是一个导子,或是从重点概形 Spec k[e]/(e^2) 到该点的一个 k-点。对超曲面 f = 0,它由梯度的微分(即该点的雅可比)为零所给出的线性方程切出。
切空间的维数恒满足 dim T_p X 大于等于 dim_p X,且当且仅当在光滑(正则)点处取等;严格不等式标志着诸如结点或尖点之类的奇异。这使切空间成为光滑性的一个干净的局部判据,也解释了为何当 m 的极小生成元个数等于克鲁尔维数时,局部环恰被称为正则的。
A^2 中尖点三次曲线 V(y^2 - x^3) 在原点处的切空间维数为 2:在局部环中,m/m^2 由 x 与 y 张成,因为 y^2 - x^3 属于 m^2,然而该曲线仅一维,故原点是奇点。
切空间维数 2 超过曲线维数 1——这是尖点的代数指纹。
又称
另见