离散赋值环

离散赋值环是曲线上单个光滑点处「消没阶」的代数。在这样的点附近，每个非零函数都消没到某个整数阶——一阶、二阶，或若不消没则为零阶——而有一个函数，即单值化元，恰好消没到一阶。DVR 把这一切打包：它是可能最干净的一维局部环，其中整除性由一个整数度量，而每个理想都是极大理想的幂。

域 K 上的离散赋值是满射 v: K^* -> Z，满足 v(xy) = v(x) + v(y) 与 v(x + y) >= min(v(x), v(y))。其赋值环 R = { x : v(x) >= 0 } ∪ {0} 就是相伴的 DVR。等价地，DVR 是不是域的局部主理想整环；等价地，是一维的、整闭的诺特局部整环；等价地，是一维正则局部环。极大理想是 (t)（t 为单值化元），且每个非零理想都是 (t^n)。

DVR 是戴德金整环的局部建筑块：把戴德金整环在非零素理想处局部化总得到一个 DVR，理想的唯一分解在局部上正是「数 t 的幂次」。诚实的对比：一个一维诺特局部整环若不整闭（如节点 k[x, y]/(y^2 - x^3) 在原点处局部化），就不是 DVR——光滑性，即正则性，正是缺失的成分。