戴德金整环

普通整数享有唯一的素因子分解，域上的多项式亦然。但数域的整数环往往不然——著名的失败 6 = 2 * 3 = (1 + sqrt(-5))(1 - sqrt(-5)) 在 Z[sqrt(-5)] 中显示出数有两种真正不同的分解方式。戴德金的伟大修补是：分解理想而非分解数。戴德金整环恰好就是这种修补永远奏效的环。

戴德金整环是一个整环 R，它是诺特的、在其分式域中整闭的、且克鲁尔维数为一（每个非零素理想皆为极大理想）。这三个条件合起来等价于一条引人注目的单一性质：每个非零真理想都唯一地分解为素理想之积。等价地，每个非零分式理想皆可逆，故全体分式理想构成一个群。

原型例子是数域的整数环 O_K，更几何地是光滑仿射曲线的坐标环。戴德金整环是唯一分解整环当且仅当它是主理想整环，而这恰好发生在其类群平凡时；类群正是这一障碍。