代数数论
分式理想
环的普通理想是对加法封闭的倍数之集；它们住在环里。然而要构造一个乘法群，我们需要逆元，而通常定义的理想并无逆元。补救之道是允许一个公共分母，正如 3/4 让你用整数造出分数。分式理想就是“带有界分母的理想”，而它们确实构成一个群。
设 R 是戴德金整环（例如 O_K），分式域为 K。分式理想是 K 的一个非零有限生成 R-子模 M。等价地，存在非零的 d 属于 R 使得 dM 含于 R，故 M = (1/d) I，其中 I 是普通理想。两个分式理想之积由它们元素的所有乘积生成，而普通理想恰好就是含于 R 的分式理想，即整的那些。
决定性的定理是：在戴德金整环中每个非零分式理想都可逆：M 乘 M^{-1} = R，其中 M^{-1} = {x 属于 K : xM 含于 R}。于是全体非零分式理想在乘法下构成一个阿贝尔群，单位元为 R。主分式理想（aR，a 属于 K^*）构成一个子群，其商即理想类群。
在 R = Z 中，每个分式理想都形如 (a/b) Z（a/b 为有理数），且 ((2/3) Z) 乘 ((3/2) Z) = Z，明确展示了逆元。
在 Z 上所有分式理想皆为主理想，故分式理想群恰为 Q^* / {正负 1}。
另见