理想类群

有些整数环享有唯一分解，有些则不然，我们想要一个单一对象，恰好刻画给定的环离理想情形有多远。其想法是：当两个理想仅相差一个主理想——相差一个诚实的元素——时，便宣布它们“相同”。在忽略一切主理想之后剩下的区别，组装成一个群，其大小度量唯一分解失败的程度。

设 R 是戴德金整环，分式域为 K。分式理想在乘法下构成阿贝尔群 I(R)，主分式理想 P(R) = {aR : a 属于 K^*} 构成一个子群。理想类群是商 Cl(R) = I(R) / P(R)。两个理想属于同一类当且仅当其一是另一的非零标量倍。

对数域的整数环，类群是有限的，且恰好在 O_K 是主理想整环时平凡——对戴德金整环而言，这与是唯一分解整环等价。它的阶即类数。类群处于若干基本正合列之中，是数域最核心的不变量之一。