类数

如果说理想类群是对唯一分解失败方式的精确诊断，那么类数就是最重要的头条统计量：到底有多少个不同的理想类？当它等于 1 时，整数环的分解与普通整数一样美好；当它很大时，算术也相应地更狂野。

数域 K 的类数 h_K 是其理想类群 Cl(O_K) 的阶。它总是一个有限正整数，这一定理因闵可夫斯基界而变得可计算：该界保证每个理想类都含有一个小范数的代表元，从而把计算化为有限搜索。类数等于 1 当且仅当 O_K 是主理想整环。

类数神秘而被深入研究。高斯猜想每个类数的虚二次域只有有限多个，最终对 h = 1 得到证明（恰有九个），并由戈德费尔德、格罗斯与扎吉尔在一般情形得证。解析类数公式通过戴德金 zeta 函数在 s = 1 处的留数表达 h_K，把类数与 L-函数联系起来。