二次域

超越有理数本身之后最简单的数域，是通过添入单个平方根而得到的那些，比如 sqrt(2) 或 sqrt(-1)。这些二次域是代数数论的实验室：小到足以用手算出一切，又丰富到足以以最干净的形式展现分歧、类群、单位与互反律。

二次域是 Q 上 2 次的数域 K。每个这样的域都形如 Q(sqrt(d))，其中 d 是唯一确定的不等于 1 的无平方因子整数；当 d > 0 时它是实的（有两个实嵌入），当 d < 0 时它是虚的（有一对复嵌入）。其整数环在 d ≡ 2 或 3 (mod 4) 时为 Z[sqrt(d)]，在 d ≡ 1 (mod 4) 时为更大的环 Z[(1 + sqrt(d))/2]。

二次域恰好就是 Q 的、伽罗瓦群为 Z/2Z 的阿贝尔扩张，其算术由二次互反律支配：一个素数如何在 Q(sqrt(d)) 中分裂由一个勒让德符号决定，因而由模判别式的同余决定。虚二次域的类数是本学科中最深刻的对象之列。