阿贝尔扩张

阿贝尔扩张是一种其对称变换彼此都可交换的伽罗瓦扩张：以任意先后顺序施加其中两个，结果都相同。可交换的对称变换远比那些纠缠在一起、互不可交换的对称变换易于梳理，这正是为何阿贝尔扩张是伽罗瓦理论中我们理解得最透彻的部分。

形式地说，伽罗瓦扩张 L/K 称为阿贝尔的，若伽罗瓦群 Gal(L/K) 是阿贝尔群。由于阿贝尔群的子群自动是正规的，伽罗瓦对应变得格外干净：每个中间域自身都在 K 上是伽罗瓦的，而子域的格映照了阿贝尔群（已被透彻理解的）子群格。分圆扩张和库默尔扩张是其典型例子。

阿贝尔扩张是类域论的研究对象——这是二十世纪数论的深刻成就之一，它用内禀的算术数据（理想、伊代尔、射线类群）对给定数域的所有阿贝尔扩张进行分类。克罗内克-韦伯定理是其原型：Q 的每个阿贝尔扩张都包含于某个分圆域之中，因此 Q 的极大阿贝尔扩张就是所有 Q(zeta_n) 的并。