极大阿贝尔扩张

在一个域的所有阿贝尔扩张——那些对称变换可交换的扩张——之中，存在唯一一个最大者，它一举把它们全部囊括。极大阿贝尔扩张就是这个普遍的容器：把你能得到的每个阿贝尔扩张都堆叠起来，它们的并仍是阿贝尔的，且在保持阿贝尔的前提下再也无法增大。

形式地说，域 K 的极大阿贝尔扩张 K^ab 是 K 的所有有限阿贝尔扩张（在固定代数闭包内）的合成。它是 K 的伽罗瓦扩张，其伽罗瓦群 Gal(K^ab/K) 是绝对伽罗瓦群 Gal(K-bar/K) 的极大阿贝尔商，即后者的阿贝尔化（按其换位子群之闭包作商）。K 的每个阿贝尔扩张都包含于 K^ab。

内禀地描述 K^ab 是类域论的核心目标。对 K = Q，答案是克罗内克-韦伯定理：Q^ab 是所有分圆域 Q(zeta_n) 的并，故 Gal(Q^ab/Q) 是射有限整数的单位群。对一般数域，其描述借助伊代尔类群与阿廷互反映射；为任意数域寻找单位根的显式类比，是希尔伯特第十二问题的内容，至今仅部分解决。