分圆域

取复平面单位圆上均匀分布的点——n 次单位根，正 n 边形的顶点——把它们添入有理数。你所得到的这个“分圆”域，是已知最美的数域之一。它的对称性完全透明，Q 的每个阿贝尔扩张都藏在某个这样的域里，而它是分圆与互反律的天然居所。

n 次分圆域是 K = Q(z_n)，其中 z_n 是一个本原 n 次单位根。它在 Q 上的次数是 phi(n)，即欧拉总和函数，其整数环恰好是 Z[z_n]——令人愉快的是，此处天真的猜测是对的。z_n 的极小多项式是 n 次分圆多项式，一个次数为 phi(n) 的不可约首一整多项式。

分圆域是 Q 的阿贝尔伽罗瓦扩张，其伽罗瓦群同构于 (Z/nZ)^*，即模 n 的单位群，同构经由把每个自同构映到它作用于 z_n 时所用的指数。克罗内克-韦伯定理说 Q 的每个阿贝尔扩张都落在某个分圆域之内。素数 p 分歧当且仅当 p 整除 n，而非分歧的素数按 p 模 n 的阶分裂。