本原元定理

若你向一个域添加两个代数数，你或许以为永远都得同时用上这两个才能描述结果。本原元定理给出一个惊喜：在温和的假设下，单个精心选取的元素就已能生成一切。无须随身携带 K(a, b)，你能找到一个数 c 使 K(a, b) = K(c)。一个复杂的扩张坍缩为一个单扩张。

确切地说，K 的每个有限可分扩张 L 都是单扩张：存在一个本原元 c 属于 L，使 L = K(c)。通常的构造取 c = a + lambda b，其中标量 lambda 属于 K 选得恰当，以避开那有限多个坏值；只要 K 无限此法即奏效，而有限域因其乘法群循环而单独处理。

可分性假设是本质的。确实存在非单扩张的有限扩张——经典反例是 F_p(s^p, t^p) 上的 F_p(s, t)，一个次数为 p^2、需要两个生成元的不可分扩张。所以该定理实际上是关于可分扩张的陈述，它支撑了伽罗瓦理论中使用单个极小多项式的便利性。