本原元

有时你通过一次性添加好几个新数来构造一个扩张——比如同时添加 sqrt(2) 和 sqrt(3)。一个令人愉快的意外是：你常常只需添加一个精心选取的数，就能得到完全相同的域。这个单独一个、本身就生成整个扩张的数，称为本原元。

确切地说，扩张 L/K 中的元素 a 称为本原元，如果 L = K(a)——也就是说，整个域 L 都是由 K 添加这一个元素 a 后再对域运算封闭而得到的。具有这样单个生成元的扩张称为单扩张。

本原元定理保证它们出现得相当频繁：每个有限可分扩张都是单扩张，因而拥有一个本原元。由于有理数（或任何特征为零的域）的所有有限扩张都是可分的，你总能把有限多个添加进来的数压缩成一个。这正是为什么在那里使用单个生成元不损失任何一般性。