单扩张

单扩张是把一个域扩大的最经济方式：你恰好添加一个新元素，并取包含它的最小域。新域中的一切随即由这单个生成元，借助四则运算与基域构造出来。它是循环群的域论类比——一个元素生成整个结构——也是组装更大扩张所用的基本积木。

确切地说，K 的扩张 L 称为单扩张，若 L = K(a) 对某单个元素 a 成立，a 称为本原元。它有两种风味。若 a 在 K 上代数、极小多项式次数为 n，则 K(a) 同构于 K[x]/(极小多项式)，次数为 n，基为 {1, a, ..., a^(n-1)}。若 a 超越，则 K(a) 同构于有理函数域 K(x)，次数无限。

由于本原元定理，单扩张无处不在：每个有限可分扩张其实都是单扩张，所以在特征 0 的域或有限域上，使用单个生成元与一个极小多项式毫不损失一般性。然而并非每个扩张都是单扩张——不可分扩张可能需要两个或更多生成元。