超越扩张

把基域想象成一盒你已经完全理解的数：每个新来的成员都能被一个系数已知的多项式方程“钉住”。超越扩张则冲出了这个盒子：它至少包含一个如此狂野的元素，使得基域上没有任何非零多项式以它为根。这个元素不是任何你能写下的代数谜题的解——它自由漂浮，更像一个独立变元而非固定的数。

确切地说，域 L 是域 K 的超越扩张，是指 L 中存在某元素 t 在 K 上超越，即 t 不满足任何系数在 K 中的非零多项式 p。等价地，子环 K[t] 同构于一个一元不定元的真正多项式环，所以 t 的行为恰如一个自由变元。一个不是代数扩张的扩张——即并非每个元素都是某个 K 多项式的根——恰好就是超越扩张。

要小心：“超越扩张”意味着该扩张含有某个超越元素，而非每个元素都超越。实数作为有理数的扩张是超越扩张，因为 pi 和 e 超越，尽管其中的 sqrt(2) 是代数的。要刻画一个扩张超越的“程度”，可用超越次数来计数这种元素的一个极大独立族。