纯超越扩张

纯超越扩张是“只与形式变量打交道、别无其他”的域论版本。你向基域添加一组完全自由、互不相关的“不定元”，并取一切你能构成的有理表达式。这里没有隐藏的代数：没有元素满足由其他元素强加的任何多项式关系。它是扩大一个域的最干净、最一般的方式，顶上不带任何代数部分。

确切地说，K 的扩张 L 称为纯超越的，若 L = K(S) 对某超越基 S 成立，等价地若 L 与有理函数域 K(x_1, ..., x_n) 是 K 同构的（无限情形则为可数或更多变量的 K）。这里诸变量在 K 上代数无关，所以 K[x_1, ..., x_n] 是一个真正的多项式环，而 L 是它的分式域。

每个扩张都经过一个纯超越部分分解：取一个超越基 S，则 L 在纯超越的 K(S) 上代数。纯超越部分承载全部“自由维数”，代数部分承载其余。一个值得记住的警告：即便 L 在某纯超越子域上代数，L 本身未必纯超越——吕罗特定理仅在基域上超越次数为 1 时挽救此事。