超越基

向量空间的基是一组极大的独立方向。超越基则是域的精确类比，只是把“线性无关”换成“代数无关”。它是一组元素，彼此之间在基域上不满足任何多项式关系，且大到不能再大：再添入任何一个元素，多项式关系就会出现。它记录了扩张内部真正自由的“变元”，在它们之后其余一切都是代数的。

确切地说，给定 K 的扩张 L，超越基是 L 的一个子集 S，它在 K 上代数无关，且 L 在 K(S) 上代数。等价地，S 是一个极大的代数无关子集。代数无关是指：以 S 中有限多个元素为变量、系数在 K 中的非零多项式没有一个取值为零。

每个域扩张都有超越基，其证明用一个佐恩引理论证，与向量空间基的存在性完全平行；而任意两个超越基有相同的基数——这个共同的大小就是超越次数。于是扩张分解为一个纯超越部分 K(S) 接上一个代数部分（L 在 K(S) 上代数），这正是该概念如此有用的结构性原因。