交换代数
克鲁尔主理想定理
施加一个方程应当使空间的维数至多降一——用单张曲面切割一个立体，剩下的东西至多薄一维，而非两维。克鲁尔主理想定理是这一几何直观的严格代数化身：用单个函数切割，无法刻出余维数大于一的子簇。
定理（Hauptidealsatz）断言：在诺特环 R 中，若 p 是包含主理想 (a) 的诸素理想中极小者，则 p 的高度至多为 1。其推广形式：若 p 极小地包含一个由 r 个元素生成的理想，则 height(p) <= r。还有部分逆命题——在诺特环中，任何高度为 r 的素理想都极小地包含某个由 r 个元素生成的理想——故高度恰是切出一个素理想所需的最少方程个数。
这单一的界限是维数理论的基石：它迫使对非零因子 a 有 dim R/(a) >= dim R - 1，给出对诺特环 R 的等式 dim R[x] = dim R + 1，并支撑着「域上有限生成的代数是链式的且余维数性质良好」这一事实。诺特假设确实必要；没有它，高度可能意外地跳跃。
在 k[x, y, z] 中，主理想 (xy - z) 是素理想，定理保证其高度为 1：用单个方程 xy = z 切割三维空间得到一张曲面，余维数为 1，而非一条曲线。
一个方程切出余维数一。
推广形式有时称为克鲁尔高度定理。它立即推出诺特环的素理想都具有限高度，即便其总克鲁尔维数可能无穷。
又称
另见