结构层

一个赤裸的拓扑空间不带任何“函数”的概念。结构层是额外的一层资料,它对每个开集说明哪些函数在那里算正则——以及它们如何限制、如何拼接。正是它把空间升级为可真正进行计算的几何对象。

在谱 Spec R 上,结构层 O 由局部化建造:在特殊开集 D(f) 上它指派局部化环 R[1/f],即只允许沿 f = 0 有极点的函数,这些函数按层公理黏合,使任意开集上的截面由局部确定。它在素理想 p 处的茎是 R 在 p 处局部化所得的局部环,编码该点附近正则函数的芽。

数对 (Spec R, O) 是局部环化空间,而概形按定义就是局部看起来像这种空间的空间。关键在于:对仿射概形,全局截面环还原 R 本身,故由代数到几何的过渡不丢失任何信息。概形的态射是空间的映射连同尊重局部环的、相容的结构层映射,正是这一点使几何真正是层论的,而非仅仅是拓扑的。