正则函数

正则函数是代数几何中的“好”函数——相当于微分几何中的光滑函数或复分析中的全纯函数。在任一点附近,它们看起来像分母不为零的、诚实的多项式之比,因此在有定义处没有极点。

在簇的开子集 U 上,函数 f 在点 p 处正则,若存在 p 的一个邻域及多项式 g, h,h 在该邻域上不为零,使得 f 在那里等于 g/h。若 f 在每一点都正则,则称其在 U 上正则。U 上的正则函数构成一个环,而把每个开集 U 指派给它的正则函数环就定义了簇的结构层。

在仿射簇 X 上,全局正则函数恰好是坐标环 k[X]——全局上不需要真正的分式——这就是仿射世界里多项式函数已足够的原因。但在不可约射影簇上,全局唯一的正则函数只有常数,因为非常数的全局者将是带极点的无界类比物。这一对比正是射影几何围绕层与分次环、而非单一函数环来组织的缘由。