平坦模

平坦模是你拿来做张量积而不会破坏任何东西的模。一般来说，把一个模与另一个模做张量积，可能把不同元素压在一起，毁掉映射的单性；平坦模恰恰是绝不发生这种事的模。从几何上看，平坦性是一族对象连续变化而不突然跳变的代数影子——它是『良好』族的代数概念。

确切地说，右 R-模 M 是平坦的，如果函子 M ⊗_R (-) 正合，等价地若它保持单射：只要 A -> B 是单的 R-模映射，M ⊗ A -> M ⊗ B 仍然是单的。（张量积总是右正合的，所以唯一可能失效的是左正合性，即单性。）其障碍由 Tor 函子度量：M 平坦当且仅当对所有 N 都有 Tor_1(M, N) = 0。

每个投射模都平坦，每个自由模都平坦，但平坦严格更弱：Q 是平坦的 Z-模却不投射。在主理想整环上，模平坦恰当它无挠，这在该情形下使平坦性非常具体。平坦性是交换代数与代数几何中核心的、与有限性无关的条件，那里平坦态射就是表现良好的概形族。