Tor 函子

与一个模做张量积是一种友好的运算，但它仍可能破坏单射性：把一个单射张量化未必仍是单射。Tor 正是对单射性究竟损失多少的精确记录。其名源自挠（torsion），因为这种损失最初显现之处——把 Z/nZ 与另一个群做张量积——恰好产生挠现象，而 Tor 在每个次数上都将其干净地刻画出来。

形式地说，对右 R 模 A 与左 R 模 B，Tor_n^R(A, B) 是张量积 A ⊗_R - 的第 n 个左导出函子：取 B 的投射分解 P_* -> B，构成复形 A ⊗ P_*，再取同调。（也可改为分解 A；答案相同。）则 Tor_0(A, B) = A ⊗_R B，且任一变元上的短正合序列都诱导 Tor 群的长正合序列，修复张量化所失的左正合性。

Tor 在所有正次数处消失，当且仅当被分解的模是平坦的——这是平坦性最干净的刻画。故 Tor 度量非平坦性，正如 Ext 度量非投射性。在主理想整环上 Tor 集中于次数 0 与 1，而 Tor_1 探测挠子模，这正是其名的最初由来。Tor 还出现在 Künneth 公式中，将乘积的同调与各因子的同调联系起来。