投射分解

投射分解用一个完全由良好构件搭成的逼近物来替换一个模。投射模是这样一类模：映射可以沿它提升，正合序列可以从它处分裂——它们是自由、可塑材料的代数类比。其思想是把任意模表示为一条由投射模构成的长正合链的末端，用一个我们完全理解其各项的复形，换下一个可能复杂的对象。

形式地说，R 模 M 的投射分解是一条正合序列 ... -> P_2 -> P_1 -> P_0 -> M -> 0，其中每个 P_i 都是投射模。这样的分解总是存在，因为每个模都是某个自由模（从而投射模）的商；人们逐步构造它：先用 P_0 覆盖 M，再用 P_1 覆盖其核，如此进行。舍去 M，截断复形 ... -> P_1 -> P_0 -> 0 在次数 0 处同调为 M，别处为零，故它是 M 的替身。

投射分解并不唯一，但任意两个都是链同伦等价的，因而任何函子施加其上再取同调都给出良定的答案。左导出函子——Tor 即其一——正是这样计算的：先分解，施加函子，再取同调。所需非零项的最小个数度量 M 的投射维数，这是一个基本不变量。