簇的理想

给定空间中的一个形状,你可以问:它满足哪些多项式方程?把在该形状上恒为零的每一个多项式收集起来,就得到簇的理想。它是几何的代数投影,是把理想送往其零点集那个映射的逆方向。

形式上,对仿射 n 维空间的子集 X,I(X) 是 k[x_1, ..., x_n] 中使得对所有 a in X 都有 f(a) = 0 的 f 之集。它是一个理想——恒为零之多项式的和与倍数仍恒为零——并且总是根理想,因为若 f^m 在 X 上为零,则 f 亦然。算子 V(零点集)与 I(理想)在理想与子集之间构成一个反序的伽罗瓦连接。

V 与 I 互相抵消得有多紧密?恒有 I(V(J)) 包含 J 的根,而 V(I(X)) 是 X 的扎里斯基闭包。希尔伯特零点定理在代数闭域上把第一个包含变为等式:I(V(J)) 等于 J 的根。于是根理想与扎里斯基闭集恰好对应,这正是代数-几何字典的精确陈述,而它在非闭域上失效。