射影空间

想象你站在原点向外望:每一条穿过原点的视线就是一个“方向”。射影空间就是所有这些方向构成的空间。普通空间中位于同一条过原点射线上的两点,在这里成为同一个点;这个小小的改变极大地整理了几何,因为在仿射世界中“平行”的方向如今真的相交了。

形式上,域 k 上的射影 n 维空间 P^n 是向量空间 k^{n+1} 中过原点的直线之集,等价地是 k^{n+1} 去掉原点后按关系 v ~ tv(t 为非零标量)所得的商。一点以齐次坐标 (x_0 : ... : x_n) 表示。它由 n+1 个标准仿射卡 U_i 覆盖,其中 x_i 非零,每个同构于 A^n,这些卡黏合起来赋予 P^n 光滑射影簇的结构。

射影空间是射影簇的自然居所,也是仿射空间的基本紧化:A^n 作为 x_0 非零的卡嵌入,余下的超平面 x_0 = 0 是 P^{n-1} 的一份拷贝,即“无穷远点”。正是这种完备性使贝祖定理变得干净——在代数闭域上,一旦置于 P^2 中,两条次数为 d 和 e 的平面曲线恰好相交于 de 个点(计重数)。