射影簇

仿射簇有个恼人的习惯——会“跑向无穷远”:两条平行线永不相交,双曲线有开放的端点。射影几何添上一圈无穷远点,把这些逃逸的部分接住。射影簇就生活在这个紧化后的世界里,直线总会相交,曲线也会闭合。

具体而言,射影 n 维空间 P^n 具有齐次坐标 (x_0 : ... : x_n),只在相差一个公共非零标量的意义下确定。多项式无法在这样的点上取值,但当多项式齐次时,其是否为零是有意义的,因为把所有坐标乘以 t,会使取值乘以 t^d。射影簇就是 P^n 中一组齐次多项式的公共零点轨迹。

回报是惊人的:代数闭域上的射影簇是完备的(紧致性的类比),因此态射的像是闭的,交数表现良好,如贝祖定理所示。代价是不存在单一的全局正则函数坐标环;不可约射影簇上唯一全局正则的函数只有常数,故须改用齐次理想与分次环来处理。