理想的范数

我们需要一种方法来度量理想的“大小”——更大的理想从环中切出更大的块，我们想要一个数来刻画它。对整数而言，理想 (n) 恰好把 Z 切成 |n| 个剩余类，故其大小是 |n|。理想的范数把这种计数推广到任意整数环，且它像绝对值一样具有乘法性。

对整数环 O_K 的一个非零理想 I，范数 N(I) 是商环 O_K / I 的基数，它总是有限的。关键性质是乘法性：对所有非零理想 N(I J) = N(I) N(J)，这由素理想唯一分解加上 N(P^k) = N(P)^k 推出。对主理想，N((a)) 等于 a 的域范数的绝对值。

理想范数是诸多有限性定理背后的主力。任何给定范数的理想只有有限多个，这使闵可夫斯基界论证成为可能：界住范数便界住了搜索范围。对位于有理素数 p 之上、剩余次数为 f 的素理想 P，范数为 N(P) = p^f，把范数直接与分裂数据系在一起。