交叉同态

交叉同态是当目标正被某个群作用摇动时，普通同态所变成的样子。诚实的同态满足 f(gh) = f(g) + f(h)；但若 g 还会挪动目标中的元素，这朴素的法则就必须靠插入那个挪动来修正。修正后的法则 f(gh) = f(g) + g·f(h) 即交叉同态律，它恰是 f 成为 1 阶上闭链的条件。

设 G 是群，A 是 G 模。一个交叉同态（或 1 阶上闭链）是对所有 g, h 属于 G 满足 f(gh) = f(g) + g·f(h) 的函数 f : G -> A。所有这种函数构成 1 阶上闭链群 Z^1(G, A)。若交叉同态形如 f(g) = g·a - a（a 是 A 中某固定元），则称为主的（1 阶上边缘）；它们构成子群 B^1(G, A)，而商 Z^1/B^1 即第一上同调 H^1(G, A)。

有一幅清晰的结构图景：交叉同态 G -> A 与半直积 A ⋊ G -> G 的群论截面一一对应，即与 A 的补子群一一对应；主交叉同态对应于共轭的补。当 G 平凡作用时，交叉律退化为普通律，交叉同态就是普通同态 G -> A，从而还原 H^1(G, A) = Hom(G, A)。在伽罗瓦理论中，取值于 L^* 的交叉同态是希尔伯特定理 90 的主角。