半直积

直积把两个群粘在一起，使它们完全互不理睬。半直积则是更进一层的亲密：一个因子仍然正规，但另一个因子被允许作用其上，用自同构对它进行扭转。正是这一次扭转，从两类交换的旋转与反射中产生出像多边形对称这样的非交换群。

具体地，设群 G 有正规子群 N 与子群 H，满足 N ∩ H = {1} 且 NH = G——即 H 是 N 的补。则 G 是（内）半直积 N ⋊ H，且 G 的每个元素都唯一地分解为 n·h。乘法由 H 如何共轭 N 决定：(n_1 h_1)(n_2 h_2) = (n_1 · h_1 n_2 h_1^{-1})(h_1 h_2)。外部地，给定任一同态 φ : H -> Aut(N)，便在集合 N x H 上构造 N ⋊_φ H，其乘积为 (n_1, h_1)(n_2, h_2) = (n_1 · φ(h_1)(n_2), h_1 h_2)。

直积是作用 φ 平凡的特例。当 φ 非平凡时结果是真正被扭转的，通常非交换。一个诚实的微妙之处是：半直积恰是分裂扩张——它只刻画那些容许补 H 同构地映到商上的扩张 1 -> N -> G -> H -> 1。没有补的扩张（非分裂者）不是半直积，需要群上同调来分类。