群与伽罗瓦上同调
伽罗瓦上同调
伽罗瓦上同调是把群上同调专门化到算术中最重要的群——伽罗瓦群上。当你通过过渡到一个更大的、使问题变简单的域来研究某个域时，伽罗瓦群度量二者之差，并作用在住在上层的每个算术对象上——单位、根、簇的点。伽罗瓦上同调记录降回下层时丢失了什么，把在基域上解方程的问题打包成上同调类。
具体地，若 L/K 是伽罗瓦扩张、其群 G = Gal(L/K)，而 A 是一个 G 模（G 在其上连续作用的离散模，如 L^* 或 L 上某代数群的点），则伽罗瓦上同调群是连续群上同调 H^n(G, A)。对无限扩张，G 是有限射影群，需用连续上链，等价地取有限子扩张上同调的滤过余极限。绝对伽罗瓦群 Gal(K-sep / K) 及其上同调编码 K 的深刻算术。
两个基石性结果在低次组织起本学科。希尔伯特定理 90 给出 H^1(G, L^*) = 0，它支撑库默尔理论与循环扩张的刻画。布饶尔群 Br(K) 被等同于 H^2(Gal(K-sep/K), (K-sep)^*)，分类 K 上的中心单代数。更高的伽罗瓦上同调汇入类域论、对偶的上同调表述（泰特–普瓦图），以及贯穿现代数论与算术几何的平展上同调。
对 K = R，绝对伽罗瓦群是 Gal(C/R) = Z/2Z。则 H^2(Z/2Z, C^*) = Z/2Z = Br(R)，其非零类是哈密顿四元数 H——实数上唯一非平凡的中心除代数。
R 的布饶尔群为 Z/2Z，由四元数实现。
连续性要求是本质的：对无限伽罗瓦群，必须使用以连续上链计算的上同调，其中模赋以离散拓扑而稳定子是开的。否则答案会出错，函子性也会失效。
另见