中心单代数

固定基域 K。在 K 上所有有限维代数中，中心单的那些与 K 系得尽可能紧：它们没有非平凡的双边理想，且与一切交换的元素只有 K 自身的标量。内部没有隐藏的更大常数域，也无法剥离出理想。它们是 K 上代数的不可约原子。

确切地说，K 上的中心单代数是一个有限维 K-代数 A，它是单的（理想只有 0 与 A）且其中心 Z(A) 等于 K。由韦德伯恩，每个这样的 A 都是某个中心为 K 的除代数 D 上的矩阵环 M_n(D)；反之任何这样的矩阵代数都是中心单的。一个干净的内蕴判据：A 在 K 上中心单当且仅当 A 与 K 的代数闭包作张量积后成为全矩阵代数 M_m(K-bar)。

中心单代数携带丰富的算术。它们在 K 上的维数总是完全平方 n^2，故称次数 n。两个中心单 K-代数的张量积仍是中心单的，且 A 张量 A-op 同构于 K 上的全矩阵代数。这些事实把中心单代数组织成布劳尔群，即理论的核心对象。

它们超越环论而重要的原因：在局部域与整体域上，它们由伽罗瓦上同调分类，这是类域论的引擎。四元数代数是最小的非平凡情形，次数为 2，便已编码深刻的算术——例如一条二次曲线是否有有理点。