东屋代数

中心单代数生活在域上；在扩张到代数闭包后，它在局部不过是一个矩阵代数。东屋代数就是当你让基由域换成可交换环时得到的东西——一族在某空间上变动的中心单代数，在每个局部都变得像矩阵，但当你四处移动时可能非平凡地扭转。它们是环或概形的布劳尔群的恰当框架。

确切地说，可交换环 R 上的东屋代数是一个 R-代数 A，它作为 R-模是忠实、有限生成且投射的，并且其自然映射 A tensor_R A-op -> End_R(A) 是同构。等价地，A 是中心可分的：其中心恰为 R，且作为 R-代数是可分的。当 R 是域时，这恰好还原中心单代数。

定义性同构 A tensor A-op ≅ End_R(A) 是引擎：它推广了“A 张量 A-op 是矩阵代数”这一域上事实，并使东屋代数的布劳尔等价类在张量积下成为群 Br(R)，逆由反代数给出。在局部，过渡到每个剩余域或在每个素处完备化后，秩为常数 n^2 的东屋代数变成矩阵环 M_n。

东屋代数在代数几何中不可或缺，其中概形的布劳尔群——由结构层上的东屋代数装配，或在上同调上由取值于乘法群的平展上同调群 H^2 给出——阻碍精细模空间的存在，并支撑算术中的布劳尔–马宁障碍。它们是经典中心单代数故事真正全局、相对的版本。