反环

在一面交换每个乘积次序的镜子里看一个非交换环。加法不变，但凡是原环先乘 a 再乘 b 的地方，镜像里就先乘 b 再乘 a。这个反射出的环就是反环。对交换环镜子显示不出新东西，但对真正非交换的环，反环可能是一个微妙不同的怪物——有时同构于原环，有时不然。

确切地说，对环 R，反环 R-op 有相同的底层加法群和新的乘法：R-op 中的 a * b 定义为 R 中的 b * a。它仍是一个带同一单位元的环，且 (R-op)-op = R。环可交换当且仅当在给定乘法下 R = R-op 作为环成立。该构造是函子性的，并以受控方式逆转同态的方向。

反环是连接左与右的桥梁。右 R-模恰是左 R-op-模，这正是为何很少需要为每一边各立一套理论。对矩阵环，转置给出同构 M_n(R)-op ≅ M_n(R-op)，而对域 k，代数 M_n(k) 经转置同构于自己的反环。R 作为其自身上右模的自同态环是 R-op，是一处干净的概念性现身。

在布劳尔群中反环提供逆元：A-op 的类是 A 的类之逆，因为 A 张量 A-op 是中心上的全矩阵代数。一个除代数是否同构于其反环是个真问题——例如它探测该代数是否带反自同构，那是诸如复共轭或四元数共轭这类对合的代数影子。