布劳尔群

域 K 上有许多中心单代数，但其中许多只相差无害的矩阵填充——M_2(D) 与 M_3(D) 由同一个底层除代数 D 构造，理应算作同一件东西。布劳尔群就是：当两个中心单代数共享同一底层除代数时宣布它们等价，再把等价类装配成一个群，其运算是张量积。它把 K 上所有非交换除代数打包进一个阿贝尔群。

确切地说，两个中心单 K-代数 A 与 B 称为布劳尔等价，若对某 r、s 有 M_r(A) 同构于 M_s(B)；等价地它们有同构的底层除代数。等价类的集合 Br(K) 是阿贝尔群：A 与 B 的类之积是 A 在 K 上张量 B 的类，单位元是 K 自身的类（所有分裂矩阵代数），而 A 的类之逆是反代数 A-op 的类，因为 A 张量 A-op 是矩阵代数。

每个布劳尔类有唯一的除代数代表，所以 Br(K) 实实在在地枚举 K 上的中心除代数（在同构意义下）。一个类在群中的阶称为其周期，其除代数代表的次数称为其指数；一条著名定理说周期总整除指数且有相同的素因子。

计算 Br(K) 是算术的核心。对代数闭的 K 群平凡；对 R 它是由四元数生成的 Z/2Z；对局部域它典范地是 Q/Z；阿尔伯特–布劳尔–哈塞–诺特定理给出整体域的正合列，是类域论的基石。在上同调上，Br(K) 等同于绝对伽罗瓦群作用在可分闭包乘法群上的伽罗瓦上同调群 H^2。