格罗滕迪克群
整数让你做加法，但你不能总在它们内部做减法——除非你发明负数、构造出整数环 Z。格罗滕迪克群对任何“能加却不能减”的系统施行的正是这一招：它是从一个交换幺半群出发、通过形式地添入逆元所能造出的最小的群。正如“我想做减法”这一要求迫使 Z 诞生，格罗滕迪克群正是把同样的要求施加到诸如模的同构类、向量丛或任何能取直和的对象上时的普适答案。
确切地说，设 M 是一个加法记号下的交换幺半群。格罗滕迪克群 K(M) 是配有幺半群同态 M -> K(M) 的阿贝尔群，且具普适性：从 M 到任一阿贝尔群的幺半群同态都唯一地经由它分解。人们把 K(M) 构造为一些数对 (a, b)，理解为“a 减 b”，并对关系取商：只要存在某个 c 使 a + b' + c = a' + b + c，就令 (a, b) ~ (a', b')（多出的 c 用以处理不可消去的幺半群）。当 M 本身可消去时，更简单的规则 a + b' = a' + b 即足够。
该构造是从阿贝尔群范畴到交换幺半群范畴的遗忘函子的左伴随，这正是它具普适性的抽象缘由。一个值得留意的微妙之处：自然映射 M -> K(M) 不必是单射。若 M 不可消去——譬如 a + x = b + x 而 a 不等于 b——则 a 与 b 在 K(M) 中坍缩为一，故过渡到格罗滕迪克群可能丢失信息。这恰是稳定自由模所利用的现象。
自然数在加法下构成的幺半群 (N, +) 的格罗滕迪克群是 Z：自然数的任意差都成为整数。更一般地，整环的非零元在乘法下构成的幺半群，其格罗滕迪克群正是该整环分式域的乘法群。
整数 Z 是 (N, +) 的格罗滕迪克群。
此名是为纪念格罗滕迪克，他在 1957 年关于黎曼–罗赫定理的工作中引入了 K(M)，其中 M 取作凝聚层在直和下构成的幺半群。字母 K 取自德文 Klasse（类）。后来每一个 K 群本质上都是某个对象范畴在选定的短正合列概念下的格罗滕迪克群。