稳定自由模

有些投射模并非自由，但只要给它们添上几个自由方向就立刻变成自由——好比一块形状别扭的区域，一旦与自身的一份拼合便能完美铺满空间。稳定自由模恰是如此：自身不自由，但在无害地添加一个自由直和项后即自由。这类模正是 K_0 读取稳定同构而非真正同构的缘由，也是“投射未必自由”的第一个具体征兆。

右 R 模 P 称为稳定自由的，若存在非负整数 m 与 n 使 P ⊕ R^m 同构于 R^n。等价地，P 是有限生成投射模，且其在约化群 K_0 上加波浪号(R) 中的类 [P] 为零；亦即 [P] 落在自由模的像中。每个稳定自由模都是投射的，每个自由模都是稳定自由的，但一般而言两个逆命题皆不成立。

真正非自由的稳定自由模的经典来源，是偶数维球面切丛的代数化：在 n 为偶数时 n 维球面的实坐标环 R = R[x_0, ..., x_n]/(x_0^2 + ... + x_n^2 - 1) 上，切向量场构成的模是稳定自由的（它是平凡 (n+1) 秩丛中补出法线的那个直和项），但由毛球定理它不是自由的。于是“稳定自由是否蕴涵自由”是个实质性的问题，受环的几何制约，并由 K_0 探测。