K_0
在一个域上，每个有限生成模都是向量空间，由唯一一个数——它的维数——完全描述。在一般的环上，值得清点的“良性”模是投射模（自由模的直和项），单一个维数已不足以刻画它们。环的 K_0 正是为这些模设立的普适记账装置：它记录投射模在直和下如何相加，并允许形式减法。它是代数 K 理论中最初也最易计算的一级阶梯。
对于环 R，令 P(R) 为有限生成投射右 R 模的同构类构成的交换幺半群，加法由直和给出。则 K_0(R) 即此幺半群的格罗滕迪克群。K_0(R) 的每个元素都是投射模类的形式差 [P] - [Q]，而在 K_0(R) 中 [P] = [Q] 当且仅当 P 与 Q 稳定同构，即对某个 n 有 P ⊕ R^n 同构于 Q ⊕ R^n。环同态 R -> S 经由标量扩张诱导同态 K_0(R) -> K_0(S)，使 K_0 成为一个函子。
当 R 是域或主理想整环时，每个有限生成投射模都是自由的，故 K_0(R) 为 Z，由 R 自身的类生成。对于戴德金整环（如某个整数环），K_0(R) 为 Z ⊕ Cl(R)，其中 Cl(R) 是理想类群：秩落在 Z 中，而类群记录了秩一投射模（分式理想）如何不能是自由的。于是 K_0 已经编码了一个经典的算术不变量。
对 R = Z[sqrt(-5)]，即 Q(sqrt(-5)) 的整数环，其类群的阶为 2，故 K_0(R) = Z ⊕ Z/2Z。非主理想 (2, 1 + sqrt(-5)) 是一个非自由的有限生成投射模，它的类正是 Z/2Z 那一份中的非零元素。
K_0 探测到 Z[sqrt(-5)] 的类数 2。
约化群（常记作 K_0 上加波浪号）是 Z -> K_0(R)（将 1 送到 [R]）的余核；它度量那些非稳定自由的投射模。对交换环 R，秩映射 K_0(R) -> H^0(Spec R, Z) 分裂出谱上取整数值的连续函数那一份，而约化部分则是皮卡型的信息。