四元数

复数通过添加 -1 的一个平方根来扩张实数，它们刻画平面的旋转。四元数是更大胆的下一步：添加 -1 的三个平方根，记作 i、j、k，并要求它们反交换。代价是乘法不再可交换；回报是一个四维数系，完美契合三维空间中的旋转。1843 年哈密顿著名地把定义关系刻在了布鲁姆桥上。

形式上，H 是以 1、i、j、k 为基的四维实代数，满足 i^2 = j^2 = k^2 = i*j*k = -1，由此强制 i*j = k = -j*i，j*k = i = -k*j，k*i = j = -i*k。每个非零四元数都可逆——H 是一个除环——其中心恰为实标量，所以 H 是 R 上的中心除代数。它在中心上的维数是 4 = 2^2，正如除代数理论要求维数为平方数。

范数为 1 的四元数构成单位四元数群，它二重覆盖旋转群 SO(3)：共轭 q -> q*v*q^(-1) 把纯虚向量 v 旋转，这正是图形学与机器人学中平滑插值姿态背后的主力。作为代数，H 是 R 的布劳尔群中唯一的非平凡元素，因为 R 上有限维的除代数只有 R、C 和 H（弗罗贝尼乌斯定理）。

一个值得说明的告诫：这条路没有更进一步且对交换友好的步骤。八元数把 H 扩张到八维，却牺牲了结合性；胡尔维茨定理表明 R、C、H 和八元数是 R 上仅有的赋范除代数。因此四元数是这条路上最后一个结合的停靠点。