除环

域是一个可以随意做加、减、乘以及对任何非零元做除法的地方，而且乘法次序无关紧要。除环就是当你保留这一切能力——包括除法——却悄悄放弃乘法可交换这一要求时得到的结构。于是 a*b 与 b*a 可能不同，但每个非零元仍有一个货真价实、可用来做除法的逆元。它就是一个被允许左右不对称的域。

确切地说，除环是一个带单位元 1 ≠ 0 的环，其中每个非零元 a 都有双边乘法逆元 a^(-1)，满足 a*a^(-1) = a^(-1)*a = 1。等价地，它的全体非零元在乘法下构成一个群。交换的除环恰好就是域；有趣的是非交换的情形，常被称为斜域。

这些对象是整个学科的天然砖块：阿廷–韦德伯恩定理断言每个半单环都由除环上的矩阵环拼装而成，所以理解除环已成功一半。它们在许多方面像域——你仍可在其上构造向量空间并谈论维数——但你必须时刻分清左右，因为左标量与右标量不再能互相穿过对方。

一句忠告：有限性会扼杀非交换性。韦德伯恩小定理证明每个有限除环都自动是域。要找到真正非交换的除环，你必须走向无限——最小的经典例子实四元数，是实数上的四维结构。