韦德伯恩小定理

在狭小的空间里很难维持非交换性。你或许希望造一个小小的有限数系，其乘法真正左右不对称，却仍能对任何非零元做除法。韦德伯恩小定理说你做不到：任何这样的有限系统都被迫可交换。仅凭有限性本身，就把非交换性熨平了。每个有限除环暗地里都是一个域。

确切地说：每个有限除环都可交换，因而是一个有限域。结合有限域的分类，这意味着阶为 q 的有限除环就是那个 q 元唯一域，其中 q 是素数幂。所以根本不存在有限斜域——非交换除法的整个现象都需要无穷多个元素。

经典证明是群与数论交织的瑰宝。人们为除环的乘法群写下类方程，用中心化子表达各共轭类的大小，并观察到分圆多项式 Phi_n 在 q 处的值必须同时整除 q^n - 1 与每个 (q^n - 1)/(q^d - 1) 项。随后对 Phi_n 在 q 处的值的一个整除性估计迫使 n = 1，即中心就是全部。

值得细品有限性被用得多么锋利。同一论断离开它便不成立：无穷的四元数是一个非交换除环。该定理还有几何回响——由韦德伯恩等人的定理，每个由除环坐标化的有限射影平面都是笛沙格的且帕普斯的，因为其坐标除环被迫成为可交换的域。