欧几里得整环

欧几里得整环是这样一种整环：在其中你仍然可以做带余除法，且余数确实比除数“更小”——这正是让求最大公因子的欧几里得算法得以运行的引擎。只要能做带余除法，就能计算最大公因子，许多漂亮的结构也随之免费得到。

严格地说，整环 R 是欧几里得的，如果存在一个函数（欧几里得范数）N，把 R 的非零元素映到非负整数，使得对任意 a 和任意非零 b（属于 R），存在 q 与 r 满足 a = b·q + r，其中要么 r = 0，要么 N(r) < N(b)。范数度量“大小”，而该不等式保证余数会缩小，故反复相除会终止。对 q、r 并不要求唯一性。

欧几里得整环位于一条严格的等级链中：每个欧几里得整环都是主理想整环（理想中范数最小的非零元素生成该理想），每个主理想整环又都是唯一分解整环——但两个箭头都不能反过来。环 Z[(1+√−19)/2] 是一个著名例子，它是主理想整环却不是欧几里得整环，说明欧几里得条件严格强于主理想整环。