交换代数
希尔伯特基定理
设想你担心多元多项式可能隐藏着无限复杂的方程组——某个理想或许需要无穷多个生成元才能刻画。希尔伯特基定理给出了极大的安心保证：只要你从一个良好的、有限可控的基环出发并过渡到多项式，就绝不会失去这种可控性。无论一组多项式条件如何描述，总能用其中有限多个把它捕捉住。
精确地说：若 R 是诺特环（每个理想都有限生成，等价地理想的升链必然稳定），则多项式环 R[x] 仍是诺特环。由归纳法，R[x_1, ..., x_n] 是诺特环，从而任何有限生成的 R-代数（这种多项式环的商）也是诺特环。取 R 为域 k 或整数环 Z，便保证了 k[x_1, ..., x_n] 与 Z[x_1, ..., x_n] 都是诺特环。
证明是一个巧妙的首项系数论证：给定 R[x] 的理想 I，把 I 中各次数多项式的首项系数收集起来，它们在 R 中构成有限生成的理想；把有限多个生成元提升回 R[x]，就得到 I 的一个有限生成集。诚实的告诫是：本定理只通过有限生成把诺特性向前传递——无穷多变量的 k[x_1, x_2, ...] 并不是诺特环，非诺特基环上的多项式环也不是。
在 k[x, y] 中，由所有常数项与线性部分为零的多项式构成的理想 (x^2, xy, y^2, x^3, ...) 是有限生成的——其实 (x^2, xy, y^2) 就够了，尽管乍看之下你可能会列出无穷多个单项式。
正如定理所许诺的，有限多个生成元就足够了。
这条定理是使代数几何可处理的基石：它保证每个仿射代数集都能由有限多个多项式截出，并支撑着计算中所用的格罗布纳基的存在性。
又称
另见